Почему нельзя собрать Пятнашки, поменяв 14 и 15. Простое доказательство без Теории групп

Пятнашки - это простая головоломка-пазл известная любому школьнику прошлого века :) 15 пронумерованный костяшек случайным порядком расставлены на доске 4х4. Одна клетка остается свободной и на это свободное место можно сдвинуть соседнюю костяшку. Задача - перемещая косточки, выставить их по порядку слева направо, сверху вниз, от 1 до 15. Есть большое количество онлайн реализаций этой игры, но все эти реализации, дабы не нервировать игроков, всегда имеют решение. В настоящих Пятнашках, когда костяшки высыпались на стол и случайным образом ставились на поле в начальную позицию, решение находилось не всегда. Это как в карточном пасьянсе - может сойтись, а может и нет. Я помню, в школе была любимая подколка: когда твой одноклассник первый раз собирал пятнашки, я менял местами последние костяшки 14 и 15, и предлагал собрать заново. И вот твой товарищ, который еще минуту назад сиял от осознания собственной сообразительности, всю перемену двигает костяшками и у него ничего не получается. Почему? Тогда в школе ответ был очевидный, потому что не получается, и все! Можешь попробовать! Конечно, у математиков есть строгое доказательство, почему это невозможно сделать - все дело в четности транспозиций, слиянии циклов и т.д., но в 3 третьем классе такое объяснение не прокатит! И поскольку я не силен в теории групп, то мне хотелось найти понятное, буквально на пальцах показанное объяснение. Я его нашел и пишу об этом ниже. Конечно, это не строгое доказательство, локальное довольно, про пятнашки. Они либо собираются, либо нет. Причем если нет, то всегда в самом последнем ряду 15 стоит перед 14. отсюда становится очевидным, что только эти две последних костяшки и определяют итог, а вероятность успеха 50 на 50. Читать далее